Produtos Cartesianos

f: X \to Y significa que f é uma função de domínio X cuja imagem está contida em Y. Também escreveremos X \xrightarrow f Y. Nesse espírito, X \xrightarrow f Y \xrightarrow g Z abrevia X \xrightarrow f Y \wedge Y \xrightarrow g Z. Se isso ocorrer, podemos montar uma função h que toma um objeto, opera segundo f e então opera segundo g. Assim, X \xrightarrow h Z. Contrariando as convenções, essa função será expressa por f \circ g.

Com as definições comuns, afirmações do tipo “\mathbb{R} é um corpo ordenado completo” carregam informação implícita, já que dependem de estruturas externas ao nosso conjunto de números, no caso +, . e a ordem. Assim, é mais apropriado usar \mathbb{R} não para representar um conjunto de números, mas para uma upla ordenada. O seu conjunto subjacente seria \mathbb{R}_0. No entanto, os números reais têm uma estrutura particularmente complexa, então por enquanto vamos continuar cometendo abusos de notação ao tratar deles.

Vamos pensar um pouco sobre produtos. Antes friso que, independentemente do que segue, X^Y é o conjunto das funções de Y em X. Consideremos uma função A. Vamos admitir que

\displaystyle \prod_{i \in I} A_i = \{x \text{ t.q. } \exists a \text{ satisfazendo } a:I \to \bigcup_{i \in I} A_i \text{ e } \forall i \in I (a_i \in A_i) \text{ e } x = \bigcup_{i \in I} a_i \}

As duas primeiras condições significam que a é uma I-escolha de elementos da família A. Com essa definição,

\displaystyle A \times B := \prod_{i \in \{0, 1\}} C_i = \{x \text{ t.q. } \exists a \in A \exists b \in B (x = a \cup b)\},

onde C = \{(0, A), (1, B)\}. Um dia verificarei afirmações como

(A \times B) \times C = A \times (B \times C)
e
A \times B = B \times A,

que são para começar a razão dessa definição de produto. Mas por enquanto observemos que o conceito usual de produto não é difícil de ser obtido a partir dessa definição. Como A_i^{\{i\}} é o conjunto das funções de \{i\} em A_i, que é o conjunto dos conjuntos \{(i, t)\}, t \in A_i,

\displaystyle \prod_{i \in I} A_i^{\{i\}} = \{x \text{ t.q. } \exists a \text{ satisfazendo } a:I \to \bigcup_{i \in I} A_i^{\{i\}} \text{ e } \forall i \in I (a_i \in A_i^{\{i\}}) \text{ e } x = \bigcup_{i \in I} a_i \}
\displaystyle = \{x \text{ t.q. } \exists b \text{ satisfazendo } b:I \to \bigcup_{i \in I} A_i \text{ e } \forall i \in I (b_i \in A_i) \text{ e } x = \bigcup_{i \in I} \{(i, b_i) \}= b \}

é o conjunto das I-escolhas de elementos da família A.

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