Espaços Topológicos

\Omega é fechado para uniões se e somente se para todo I e para toda função A: I \to \Omega, \displaystyle \bigcup_{i \in I} A_i \in \Omega .

X é um espaço topológico se e somente se X é uma função cujo domínio contém \{0, 3\} e \Omega = X_3 \Rightarrow \{ \emptyset, X_0\} \subset \Omega \subset P(X_0) e \Omega é fechado para uniões e \forall P, Q \in \Omega (P \cap Q \in \Omega).

[obs.: as vagas 1 e 2 do domínio são para as estruturas de adição e multiplicação; assim, se \Omega é a topologia usual na reta (ou \Omega = 2^{\mathbb{R}}), (\mathbb{R}, +, \cdot , \Omega) é um espaço topológico]

p é um ponto em X se e somente se p \in X_0.
U é aberto em X se e somente se X é um espaço topológico e U \in X_3.
U e V separam p e q se e somente se p \in U e q \in V e U \cap V = \emptyset.
X é um espaço Hausdorff se e somente se X é um espaço topológico e \forall p, q pontos em X ( p \neq q \Rightarrow \exists U, V abertos em X tais que U e V separam p e q).

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