Revisiting: injetividade e sobrejetividade

Antes disto, sugiro ver algumas convenções sobre funções.

O que segue são caracterizações diferentes de injetividade e sobrejetividade, que fazem surgir uma inesperada simetria.

Monomorfismos entre conjuntos: suponha X \xrightarrow {\varphi} Y. Afirmo que \varphi é injetiva se e somente se, para todo W, dadas W \xrightarrow {\alpha} X e W \xrightarrow {\beta} X quaisquer,

\alpha \circ \varphi = \beta \circ \varphi \Rightarrow \alpha = \beta (i.e. \varphi é um monomorfismo)

* Se \varphi é injetiva, para qualquer w \in W,

\alpha \circ \varphi = \beta \circ \varphi \Rightarrow ((w) \alpha ) \varphi = ((w) \beta ) \varphi \Rightarrow (w) \alpha = (w) \beta
w é arbitrário \Rightarrow \alpha = \beta.

* Por outro lado, se \varphi não é injetiva, há x, y \in X tais que x \neq y mas (x)\varphi = (y)\varphi. Tome W = \{w\} unitário e defina (w)\alpha = x, (w)\beta = y. A implicação que define monomorfismos é obviamente falsa.

Epimorfismos entre conjuntos: se X \xrightarrow {\varphi} Y, temos \varphi sobrejetiva se e somente se, dadas Y \xrightarrow {\alpha} Z e Y \xrightarrow {\beta} Z quaisquer,

\varphi \circ \alpha = \varphi \circ \beta \Rightarrow \alpha = \beta (i.e. \varphi é um epimorfismo).

* Se \varphi é sobrejetiva, para qualquer y \in Y, há x \in X tal que (x) \varphi = y. Daí

\varphi \circ \alpha = \varphi \circ \beta \Rightarrow ((x) \varphi ) \alpha = ((x) \varphi) \beta \Rightarrow (y) \alpha = (y) \beta

* Reciprocamente, se houver y_0 \in Y não pertencente à imagem de \varphi, tome Z = \{a, b\} de dois elementos, defina (y)\alpha = a para todo y \in Y e (y)\beta = a, exceto se y = y_0; ao invés disso, (y_0)\beta = b. Assim asseguramos que \varphi \circ \alpha e \varphi \circ \beta sejam constantes e iguais a a. No entanto, \alpha \neq \beta.

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