Álgebra Linear

Novamente, usaremos às vezes uma notação não-padrão.

Seja K um corpo. Suponhamos que E e F são K-espaços vetoriais de dimensão finita, m = \dim E e n = \dim F. Sejam e e f bases para E e para F, com vetores e_0, ...\, e_{m-1} e f_0, ...\, f_{n-1}. Vamos estudar as transformações lineares A: E \to F, escrevendo, para cada i \in m,

\displaystyle (e_i)A = \sum_{j=0}^{n-1} a_{ij}f_j

Podemos considerar a matriz a de formato m \times n com coeficientes a_{ij}. Notemos que as linhas da matriz podem se associar aos vetores de e e as colunas podem se associar aos vetores de f; mais precisamente, (e_i)A é uma combinação dos vetores de f com os coeficientes da i-ésima linha da matriz a. Essa matriz é dita associada à transformação linear A. Notemos que \forall v \in E

\displaystyle (v)A = (\sum_{i=0}^{m-1} v_ie_i)A = \sum_{i=0}^{m-1} v_i(e_i)A = \sum_{i=0}^{m-1} v_i\sum_{j = 0}^{n-1} a_{ij}f_j = \sum_{j=0}^{n-1} (\sum_{i=0}^{m-1} v_ia_{ij}) f_j

O coeficiente de f_j é o produto escalar de v pela j-ésima coluna da matriz a. Portanto, por definição, (v)A é o vetor associado à matriz-linha va.

Suponha E, F e G espaços vetoriais de dimensões m, n e p, com bases e, f e g. Se E \xrightarrow A F \xrightarrow B G, e se a, b e c são as matrizes associadas a A, B e A \circ B, então

c = ab.

De fato, \forall i \in m,

\displaystyle ((e_i)A)B =  (\sum_{j=0}^{n-1} a_{ij}f_j)B = \sum_{k=0}^p (\sum_{j=0}^{n-1} a_{ij}b_{jk})g_k
\displaystyle (e_i)(A \circ B) = \sum_{k=0}^{p-1} c_{ik}g_k

Igualando os coeficientes de cada termo, \displaystyle c_{ik} = \sum_{j=0}^{n-1} a_{ij}b_{jk}, como queríamos. \blacksquare

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