Transformações Diferenciáveis

Vamos considerar uma função f: U \to \mathbb{R}^n, U \subset \mathbb{R}^m. Tomemos a \in U. Dizemos que f tem derivada T em a se e somente se \mathbb{R}^m \xrightarrow T \mathbb{R}^n, T é linear e

\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{(a + h)f - (a)f - hT}{|h|} = 0

Isso diz que, até certo ponto, o gráfico de f é aproximável pelo de T. Assim, se f = T é uma tranformação linear, em cada ponto a, T tem derivada T.

Da definição, \displaystyle \lim_{h \to 0} \text{ } (a + h)f - (a)f - hT = 0 \Rightarrow f é contínua em a. Também podemos dizer que |(a + h)f - (a)f - hT| \leq |h| para |h| suficientemente pequeno. Assim |f(a + h) - f(a)| \leq (1 + |T|)|h| para h pequeno.

Regra da Cadeia: Suponhamos U \subset \mathbb{R}^m e V \subset \mathbb{R}^n abertos e U \xrightarrow f V \xrightarrow g \mathbb{R}^p. Se f tem derivada S em a e g tem derivada T em (a)f, então f \circ g tem derivada ST em a.

Prova: \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{(a + h)f \circ g -  (a)f \circ g - hST}{|h|} =
\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{(a + h)f \circ g - (a)f \circ g - [(a + h)f - (a)f]T}{|h|} + \lim_{h \to 0} \frac{(a + h)fT - (a)fT - hST}{|h|} =
\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{o((a + h)f - (a)f)}{|h|}+ \lim_{h \to 0} (\frac{(a + h)f - (a)f- hS}{|h|})T =
\displaystyle 0 + 0 = 0. \blacksquare

Fazendo m = 1, obtemos o seguinte importante caso particular:

* Se (a, b) é um intervalo real, U \subset \mathbb{R}^m, \gamma: (a, b) \to U é um caminho diferenciável em p e f: U \to \mathbb{R}^n tem derivada T em (p)\gamma, o caminho \gamma \circ f tem derivada (p)\gamma'T = ((p)\gamma') \circ (((p)\gamma)f') em p.

Considerando caminhos \gamma_i: (-\varepsilon, \varepsilon) \to U dados por (t)\gamma = a + te_i, concluimos que cada linha da derivada de f é uma das derivadas parciais.

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