Uma observação sobre 1-formas

Afirmo que, dada qualquer 1-forma exata \omega em um aberto do \mathbb R^n, e dados vetores u, v, temos

\displaystyle \frac{\partial (u)\omega}{\partial v} = \frac{\partial (v)\omega}{\partial u}

A motivação para essa observação é que uma forma é fechada se e somente se é localmente exata, e portanto a exatidão de uma forma não deve depender de sistema algum de eixos. A verificação desse fato segue do fato de que \frac{\partial (u)\omega}{\partial v} é bilinear em u e v, de modo que só é necessário verificar a igualdade acima para u e v em uma certa base, que pode ser a canônica.

Essa observação deve ser útil para verificar que toda forma fechada é localmente exata, que afinal é o único motivo pelo qual as formas fechadas são relevantes.

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