O Teorema da Aplicação Inversa

[AVISO: este post está incompleto, mas infelizmente a seção de rascunhos está muito grande, então o liberei]

Nota: a linha em (por exemplo) \gamma' indica a derivada numérica ou vetorial. O \text{d} em \text{d}f indica um funcional linear, a diferencial de f. A sobreposição de letras indica evaluação (af é o que geralmente seria denotado f(a))

Suponha X\subset\mathbb R^n e [0,1]\xrightarrow[C^1]{\gamma} X \xrightarrow[C^1]{f} \mathbb R. Pelo teorema fundamental do Cálculo,

\displaystyle 1\gamma\circ f - 0\gamma\circ f = \int\limits_0^1 t(\gamma\circ f)' \text{ d}t = \int\limits_0^1 t\gamma'\circ (\text{d}f)_{t\gamma} \text{ d}t

Em particular, se t\gamma = a+t(b-a),

\displaystyle bf - af = \int\limits_0^1 (b-a)(\text{d}f)_{(1-t)a+tb} \text{ d}t

Essa é a maneira mais natural de estimar bf-af se a e b estão próximos.

Teorema: suponhamos U\subset\mathbb R^n e U \xrightarrow[C^1]{f} \mathbb R^n. Tome c \in U tal que df_c é injetiva (e portanto bijetiva, já que leva \mathbb R^n em \mathbb R^n). Então existe uma vizinhança V de c tal que f|_V é um difeomorfismo C^1. Além disso, (\text{d}f|_V^{-1})_{af} = (\text{d}f_a)^{-1}.

Prova: vamos começar demonstrando que f é injetiva em alguma vizinhança de c.

\forall\, a, b\in U, se o segmento \overline{ab} está contido em U,

\displaystyle bf - af - (b-a)(\text{d}f)_c = \int\limits_0^1 (b-a)(\text{d}f_{(1-t)a+tb}-\text{d}f_c) \text{ d}t

Fazendo a, b\rightarrow c, em certo sentido \overline{ab} também se aproxima de c; todo ponto de \overline{ab} está mais perto de c que algum dos extremos a ou b. Logo, como f é continuamente diferenciável, a integral acima é o(b-a), i.e., \forall \varepsilon \exists \delta tal que, se |a-c|<\delta e |b-c|<\delta, vale que bf - af - (b-a)(\text{d}f)_c < \varepsilon|b-a|.

Da injetividade de (\text{d}f)_c, podemos concluir que (b)f \neq (a)f. De fato, acima, basta tomar \varepsilon menor que o “encolhimento máximo” de \text{d}f_c (aquele que é obtido considerando-se a norma da inversa de \text{d}f_c). Assim f é injetiva em uma vizinhança de c desde que (\text{d}f)_c seja injetiva. Vamos chamar esse aberto V.

A partir desse resultado pode-se facilmente concluir que f|_V^{-1} é Lipschitz, e portanto contínua. Agora basta ver que

\displaystyle \lim_{x\to x_0} \frac{(x)f^{-1}-(x_0)f^{-1}-(x-x_0)A^{-1}}{|x-x_0|} = \lim_{t\to (x_0)f^{-1}} \frac{t-(x_0)f^{-1}-((t)f-x_0)A^{-1}}{|(t)f-x_0|} = \lim_{t\to (x_0)f^{-1}} \frac{(t-(x_0)f^{-1})A-((t)f-x_0)}{|(t)f-x_0|}A^{-1}

O numerador dessa fração, pela diferenciabilidade de f, é o(|t-(x_0)f^{-1}|). Como |(t)f-x_0|\geq c.||t-(x_0)f^{-1}| para alguma constante positiva c, essa fração tende a 0, o que prova a afirmação.

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