Exemplos Triviais de Naturalidade

Suponha que E seja um espaço vetorial n-dimensional sobre um corpo K. Seja e uma base para E. Podemos definir, para i \in n,

f_i(e_j) = \delta_{ij}

Veja que \forall i f_i \in E^*. Analogamente, para cada i \in ng_i \in E^{**} tal que

g_i(f_j) = \delta_{ij}

Temos \displaystyle g_i(\sum_{j=0}^{n-1} a_jf_j) = a_i e similarmente \displaystyle (\sum_{j=0}^{n-1}a_jf_j)(a_i) = a_i. Veja que assim temos uma bijeção entre os elementos da base e de E e os da base g de E^{**}, no sentido de que f(e_i) = g_i(f) para toda f \in E^*. Podemos extender linearmente essa correspondência. Automaticamente teremos \forall v \in E \forall f \in E^* v^*(f) = f(v), onde v^{**} é o funcional associado a v. Essa é uma correspondência natural entre E e E^{**}, no sentido de que não se baseia na escolha arbitrária de uma base.

________________________________________________

Se G é um grupo, dizemos que \chi é um caracter em G se e somente se \chi: G \to \mathbb C^* é homomorfismo. O conjunto dos caracteres em um grupo G também é um grupo (abeliano) com a operação (g)(\chi_1.\chi_2) = (g)\chi_1(g)\chi_2. Esse grupo é isomorfo a G. De fato, supondo

G \cong \mathbb Z /a_1\mathbb Z \times \mathbb Z /a_2\mathbb Z \times ...\, \mathbb Z /a_n\mathbb Z ,

claramente o grupo dos caracteres em G é isomorfo ao grupo dos caracteres em \mathbb Z /a_1\mathbb Z \times \mathbb Z /a_2\mathbb Z \times ...\, \mathbb Z /a_n\mathbb Z (mas é importante perceber que consideramos esse grupo com uma estrutura aditiva). Quanto aos caracteres nesse grupo, com as notações
e_1 = (1,0,...\,0), e_2=(0,1,0,...\,0), … e e_n=(0,...\, 0, 1), observa-se que

(b_1,...\,b_n)\chi = (e_1)\chi^{b_1}...\,(e_n)\chi^{b_n} (*) ,

Isso mostra como não há muita variação possível para os caracteres. A esse respeito, temos, para todo \chi caracter no grupo produto (isomorfo a G), e para todo k \in \{1, ...\, n\}, (e_k)\chi^{a_k}=(a_ke_k)\chi = (0)\chi =1. Logo (e_k)\chi é uma raiz a_k-ésima da unidade. Essas são as restrições que caracterizam os caracteres.

É fácil ver que, dado k, podemos definir

(b_1,b_2,...\,b_n)\chi_k = e^{\frac{2\pi ib_k}{a_k}}

Se \chi é um caracter qualquer em \prod \mathbb Z/a_k\mathbb Z e os caracteres \chi_k são dados como acima, como (e_k)\chi_k é uma raiz a_k-ésima primitiva da unidade, temos (e_k)\chi = (e_k)\chi_k^{c_k} para alguma n-upla c tal que c_k \in \mathbb Z/a_k \mathbb Z. Portanto, de (*),

\chi = \chi_1^{c_1}\chi_2^{c_2}...\,\chi_n^{c_n}

Também é trivial verificar que os caracteres dados pelo lado direito são todos distintos. O isomorfismo é imediato. \blacksquare

Da demonstração acima também se conclui que a todo g \in G corresponde um caracter \chi tal que (g)\chi \neq 1. Isso é útil para provar o segundo dos seguintes fatos:

\forall \chi\, \chi \text{ caracter em }G \land \chi \not\equiv 1 \Rightarrow \sum_{g\in G} (g)\chi = 0
\forall g\neq e \, g \in G\Rightarrow \sum_{\chi\text{ caracter em } G}\, (g)\chi = 0

A simetria entre esses fatos levou-me a indagar se o isomorfismo entre G e \hat{G} (o conjunto dos caracteres em G) preserva evaluação, como se descreve mais precisamente abaixo.

Suponhamos que ^* representa o isomorfismo, i.e., g^* é o caracter associado a g e \chi^* é o elemento do grupo associado a \chi. Então (g)\chi = (\chi^*)g^*.

Prova: aqui podemos tratar apenas do caso \displaystyle G = \prod_k \mathbb Z /a_k\mathbb Z. Notemos que g=(b_1,...\,b_n) está associado ao caracter g^*=\chi_1^{b_1}...\,\chi_n^{b_n}. Similarmente o caracter \chi=\chi_1^{c_1}...\,\chi_n^{c_n} está associado a (c_1,...\,c_n). Então basta ver que

(b_1,...\,b_n)\chi_1^{c_1}...\,\chi_n^{c_n} = (c_1,...\,c_n)\chi_1^{b_1}...\,\chi_n^{b_n}

\displaystyle \Leftrightarrow \prod_k (b_ke_k)\chi_k^{c_k} = \prod_k (c_ke_k)\chi_k^{b_k}

\displaystyle \Leftrightarrow \prod_k (e^{\frac{2\pi ib_k}{a_k}})^{c_k} = \prod_k (e^{\frac{2\pi ic_k}{a_k}})^{b_k} \blacksquare

Mas a ideia era falar sobre isomorfismos naturais. À colocação acima (sobre preservar evaluação), o Gugu respondeu que o isomorfismo de G em \hat{G} não é natural, G é naturalmente isomorfo a \hat{\hat{G}}. Não sei o que isso significa formalmente, mas exibamos o isomorfismo (natural). Basta levar cada g \in G ao caracter que leva \chi em (g)\chi (observação: esse isomorfismo vem facilmente da composição entre um isomorfismo de G e \hat{G} e um isomorfismo entre \hat{G} e \hat{\hat{G}}). Por outro lado, diretamente da definição, essa transformação é um homomorfismo porque (gh)\chi = (g)\chi(h)\chi, e é injetiva porque a cada g \neq e corresponde ao menos um \chi com (g)\chi \neq 1. A bijetividade segue do fato de que G e \hat{\hat{G}} têm a mesma cardinalidade.\blacksquare

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2 Responses to Exemplos Triviais de Naturalidade

  1. Jorge H. says:

    É nós, Feliz! =D Saudade de você, dude.

    Acompanho o seu blog! Põe algo de teoria de medida aí =]

    Abraço! Você sim!

    • renanfinder says:

      Oi.

      No momento não me parece uma boa ideia, mas talvez você tenha mais sucesso daqui a uns meses.

      Abraço!

      Adendo: você teve mais sucesso antes do que eu esperava. Pareceu-me que seria legal compartilhar uma prova do Teorema de Radon-Nikodym…

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