Lema 1 para Radon-Nikodym

O Teorema de Radon-Nikodym

m denota a medida de Lebesgue em [0,1] e \mu denota uma medida absolutamente contínua em relação a m. Os conjuntos e funções são supostos mensuráveis. Quando tratamos da “medida” de um conjunto, está implícito que é a medida de Lebesgue.

Fato: para todo intervalo I, existe T \subset [0,1] maximal (a menos de conjuntos de medida nula) com respeito à I-densidade de \mu. Isso significa que \mu é I-densa em T, mas não existe T' de medida maior que m(T) tal que \mu é I-densa em T'.

Prova: começamos observando que \mu é I-densa em uniões enumeráveis de conjuntos nos quais \mu é I-densa.

Se \mu é I-densa em A_1, A_2,..., então \mu é I-densa em A_1, A_2\backslash A_1, A_3\backslash (A_1\cup A_2), ... Esses conjuntos são disjuntos.
Por isso podemos supôr \mu I-densa em B_1, B_2, ..., com B_i\cap B_j vazio para i\neq j, e mostrar que \mu é I-densa em \displaystyle\bigcup_{n\in\mathbb N} B_n. Para isso, tome C \subset \bigcup B_n. Então C \cap B_n\subset B_n e \mu é I-densa em B_n, logo \mu(B_n\cap C)\in m(B_n\cap C).I. Pelo sublema, \mu(C)\in m(C).I.

Para demonstrar o fato que queremos, consideremos o supremo M das medidas de conjuntos nos quais \mu é I-densa. Há T_1, T_2, ... tais que cada T_i tem medida \ge M-\frac{1}{i}. Unindo os T_i obtemos um conjunto de medida pelo menos M, e pela observação acima \mu é I-densa nesse conjunto.\blacksquare

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