Sublema para Radon-Nikodym

O Teorema de Radon-Nikodym

m denota a medida de Lebesgue em [0,1] e \mu denota uma medida absolutamente contínua em relação a m. Os conjuntos e funções são supostos mensuráveis.

Fato: se I é um intervalo e \displaystyle\bigcup_{n\in\mathbb N}X_n é uma partição de X\subset [0,1] tal que \forall n\,\mu(X_n)\in m(X_n).I, então \mu(X) \in m(X).I.

Prova: supondo I=[a,b],

\mu(X) =\displaystyle\sum_{n\in\mathbb N} \mu(X_n)
m(X) =\displaystyle\sum_{n\in\mathbb N} m(X_n)
\forall n\in \mathbb N\, a.m(X_n) \leq \mu(X_n) \leq b.m(X_n)

Somando todas as desigualdades obtemos o resultado desejado. Se o intervalo for aberto em um dos extremos, supondo m(X) > 0 todas as desigualdades “desse extremo” com m(X_n)\neq 0 tornam-se estritas, e o resultado continua valendo. Os extremos de I não precisam ser reais. \blacksquare

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