Lema 3 para Radon-Nikodym

O Teorema de Radon-Nikodym

m denota a medida de Lebesgue em [0,1] e \mu denota uma medida absolutamente contínua em relação a m. Os conjuntos e funções são supostos mensuráveis. Quando tratamos da “medida” de um conjunto, está implícito que é a medida de Lebesgue.

Fato: para quaisquer c>0 e S\subset [0,1], existe T\subset S tal que \mu é [0,c]-densa em T e \mu é ]c, \infty[-densa em S\backslash T.

Prova: pelo lema 1 existe T\subset S maximal tal que \mu é [0,c]-densa em T. Se \mu não é ]c,\infty[-densa em S\backslash T, há um subconjunto A de S\backslash T com medida positiva tal que \mu(A) \leq c.m(A). Pelo lema 2 esse subconjunto tem um subconjunto de medida positiva no qual \mu é [0,c]-densa. Unindo-o a T obtemos um conjunto com medida maior que m(T) onde \mu é [0,c]-densa. Absurdo! \blacksquare

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