A Norma de Uma Transformação Linear

Suponhamos que V seja um espaço vetorial real normado de dimensão finita (a norma não é uma exigência essencial; considerando uma base qualquer e para V, podemos fazer uma bijeção entre e_i e o vetor do \mathbb R^n que tem 1 na i-ésima coordenada e 0 nas demais, induzindo uma norma em V).

Admitamos agora que V\xrightarrow A V, i.e., que A é uma tranformação linear de V em V. Se v\in V e v\neq0, há u\in V tal que v=|v|.u, e portanto

\displaystyle \frac{|vA|}{|v|} = \frac{|v|.|uA|}{|v|}=|uA|

É claro que |u|=1. Como a esfera unitária é compacta, há um valor máximo M para |uA|. Portanto, para qualquer v\in V

\displaystyle \frac{|vA|}{|v|} =|u_vA|\leq M\implies |vA|\leq M.|v|

Além disso, o valor M é atingido em algum ponto p da esfera, e portanto |pA|=M=M.|p|. Assim pode ocorrer a igualdade acima. Esse M é chamado norma da transformação A. Se A não é um múltiplo da identidade, M depende da norma de V.

Alternativamente, para demonstrar a existência de um M tal que \forall v \in V |vA|\leq M.|v|, podemos tomar uma base ortonormal qualquer e de V, definir M_i = |e_iA| e tomar M=\sum_i M_i. De fato,

\displaystyle |(\sum_i a_i.e_i)A|\leq \sum_i M_i.|a_i| \leq \sum_i M_i.\sqrt{\sum_j a_j^2} = M.\sqrt{\sum_j a_j^2}

Concluiremos, do resultado acima, que se V\xrightarrow B V e B é invertível, há uma constante \forall v\in V |vB|\geq c|v| (mas também poderíamos usar novamente a compacidade da esfera unitária). Basta escolher como c o inverso da norma d de B^{-1}. Se tivéssemos |vB|< c.|v| para algum v, teríamos |v|=|vBA|\leq d.|vB|< d.c.|v|= |v|, absurdo. Essa constante é a melhor que podemos obter, já que |vB^{-1}|=d.|v|\implies |(vB^{-1})B|=d^{-1}.|vB^{-1}| \blacksquare.

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