O Teorema da Aplicação Inversa

[AVISO: este post está incompleto, mas infelizmente a seção de rascunhos está muito grande, então o liberei]

Nota: a linha em (por exemplo) \gamma' indica a derivada numérica ou vetorial. O \text{d} em \text{d}f indica um funcional linear, a diferencial de f. A sobreposição de letras indica evaluação (af é o que geralmente seria denotado f(a))

Suponha X\subset\mathbb R^n e [0,1]\xrightarrow[C^1]{\gamma} X \xrightarrow[C^1]{f} \mathbb R. Pelo teorema fundamental do Cálculo,

\displaystyle 1\gamma\circ f - 0\gamma\circ f = \int\limits_0^1 t(\gamma\circ f)' \text{ d}t = \int\limits_0^1 t\gamma'\circ (\text{d}f)_{t\gamma} \text{ d}t

Em particular, se t\gamma = a+t(b-a),

\displaystyle bf - af = \int\limits_0^1 (b-a)(\text{d}f)_{(1-t)a+tb} \text{ d}t

Essa é a maneira mais natural de estimar bf-af se a e b estão próximos.

Teorema: suponhamos U\subset\mathbb R^n e U \xrightarrow[C^1]{f} \mathbb R^n. Tome c \in U tal que df_c é injetiva (e portanto bijetiva, já que leva \mathbb R^n em \mathbb R^n). Então existe uma vizinhança V de c tal que f|_V é um difeomorfismo C^1. Além disso, (\text{d}f|_V^{-1})_{af} = (\text{d}f_a)^{-1}.

Prova: vamos começar demonstrando que f é injetiva em alguma vizinhança de c.

\forall\, a, b\in U, se o segmento \overline{ab} está contido em U,

\displaystyle bf - af - (b-a)(\text{d}f)_c = \int\limits_0^1 (b-a)(\text{d}f_{(1-t)a+tb}-\text{d}f_c) \text{ d}t

Fazendo a, b\rightarrow c, em certo sentido \overline{ab} também se aproxima de c; todo ponto de \overline{ab} está mais perto de c que algum dos extremos a ou b. Logo, como f é continuamente diferenciável, a integral acima é o(b-a), i.e., \forall \varepsilon \exists \delta tal que, se |a-c|<\delta e |b-c|<\delta, vale que bf - af - (b-a)(\text{d}f)_c < \varepsilon|b-a|.

Da injetividade de (\text{d}f)_c, podemos concluir que (b)f \neq (a)f. De fato, acima, basta tomar \varepsilon menor que o “encolhimento máximo” de \text{d}f_c (aquele que é obtido considerando-se a norma da inversa de \text{d}f_c). Assim f é injetiva em uma vizinhança de c desde que (\text{d}f)_c seja injetiva. Vamos chamar esse aberto V.

A partir desse resultado pode-se facilmente concluir que f|_V^{-1} é Lipschitz, e portanto contínua. Agora basta ver que

\displaystyle \lim_{x\to x_0} \frac{(x)f^{-1}-(x_0)f^{-1}-(x-x_0)A^{-1}}{|x-x_0|} = \lim_{t\to (x_0)f^{-1}} \frac{t-(x_0)f^{-1}-((t)f-x_0)A^{-1}}{|(t)f-x_0|} = \lim_{t\to (x_0)f^{-1}} \frac{(t-(x_0)f^{-1})A-((t)f-x_0)}{|(t)f-x_0|}A^{-1}

O numerador dessa fração, pela diferenciabilidade de f, é o(|t-(x_0)f^{-1}|). Como |(t)f-x_0|\geq c.||t-(x_0)f^{-1}| para alguma constante positiva c, essa fração tende a 0, o que prova a afirmação.

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Uma observação sobre 1-formas

Afirmo que, dada qualquer 1-forma exata \omega em um aberto do \mathbb R^n, e dados vetores u, v, temos

\displaystyle \frac{\partial (u)\omega}{\partial v} = \frac{\partial (v)\omega}{\partial u}

A motivação para essa observação é que uma forma é fechada se e somente se é localmente exata, e portanto a exatidão de uma forma não deve depender de sistema algum de eixos. A verificação desse fato segue do fato de que \frac{\partial (u)\omega}{\partial v} é bilinear em u e v, de modo que só é necessário verificar a igualdade acima para u e v em uma certa base, que pode ser a canônica.

Essa observação deve ser útil para verificar que toda forma fechada é localmente exata, que afinal é o único motivo pelo qual as formas fechadas são relevantes.

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Transformações Diferenciáveis

Vamos considerar uma função f: U \to \mathbb{R}^n, U \subset \mathbb{R}^m. Tomemos a \in U. Dizemos que f tem derivada T em a se e somente se \mathbb{R}^m \xrightarrow T \mathbb{R}^n, T é linear e

\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{(a + h)f - (a)f - hT}{|h|} = 0

Isso diz que, até certo ponto, o gráfico de f é aproximável pelo de T. Assim, se f = T é uma tranformação linear, em cada ponto a, T tem derivada T.

Da definição, \displaystyle \lim_{h \to 0} \text{ } (a + h)f - (a)f - hT = 0 \Rightarrow f é contínua em a. Também podemos dizer que |(a + h)f - (a)f - hT| \leq |h| para |h| suficientemente pequeno. Assim |f(a + h) - f(a)| \leq (1 + |T|)|h| para h pequeno.

Regra da Cadeia: Suponhamos U \subset \mathbb{R}^m e V \subset \mathbb{R}^n abertos e U \xrightarrow f V \xrightarrow g \mathbb{R}^p. Se f tem derivada S em a e g tem derivada T em (a)f, então f \circ g tem derivada ST em a.

Prova: \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{(a + h)f \circ g -  (a)f \circ g - hST}{|h|} =
\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{(a + h)f \circ g - (a)f \circ g - [(a + h)f - (a)f]T}{|h|} + \lim_{h \to 0} \frac{(a + h)fT - (a)fT - hST}{|h|} =
\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{o((a + h)f - (a)f)}{|h|}+ \lim_{h \to 0} (\frac{(a + h)f - (a)f- hS}{|h|})T =
\displaystyle 0 + 0 = 0. \blacksquare

Fazendo m = 1, obtemos o seguinte importante caso particular:

* Se (a, b) é um intervalo real, U \subset \mathbb{R}^m, \gamma: (a, b) \to U é um caminho diferenciável em p e f: U \to \mathbb{R}^n tem derivada T em (p)\gamma, o caminho \gamma \circ f tem derivada (p)\gamma'T = ((p)\gamma') \circ (((p)\gamma)f') em p.

Considerando caminhos \gamma_i: (-\varepsilon, \varepsilon) \to U dados por (t)\gamma = a + te_i, concluimos que cada linha da derivada de f é uma das derivadas parciais.

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Álgebra Linear

Novamente, usaremos às vezes uma notação não-padrão.

Seja K um corpo. Suponhamos que E e F são K-espaços vetoriais de dimensão finita, m = \dim E e n = \dim F. Sejam e e f bases para E e para F, com vetores e_0, ...\, e_{m-1} e f_0, ...\, f_{n-1}. Vamos estudar as transformações lineares A: E \to F, escrevendo, para cada i \in m,

\displaystyle (e_i)A = \sum_{j=0}^{n-1} a_{ij}f_j

Podemos considerar a matriz a de formato m \times n com coeficientes a_{ij}. Notemos que as linhas da matriz podem se associar aos vetores de e e as colunas podem se associar aos vetores de f; mais precisamente, (e_i)A é uma combinação dos vetores de f com os coeficientes da i-ésima linha da matriz a. Essa matriz é dita associada à transformação linear A. Notemos que \forall v \in E

\displaystyle (v)A = (\sum_{i=0}^{m-1} v_ie_i)A = \sum_{i=0}^{m-1} v_i(e_i)A = \sum_{i=0}^{m-1} v_i\sum_{j = 0}^{n-1} a_{ij}f_j = \sum_{j=0}^{n-1} (\sum_{i=0}^{m-1} v_ia_{ij}) f_j

O coeficiente de f_j é o produto escalar de v pela j-ésima coluna da matriz a. Portanto, por definição, (v)A é o vetor associado à matriz-linha va.

Suponha E, F e G espaços vetoriais de dimensões m, n e p, com bases e, f e g. Se E \xrightarrow A F \xrightarrow B G, e se a, b e c são as matrizes associadas a A, B e A \circ B, então

c = ab.

De fato, \forall i \in m,

\displaystyle ((e_i)A)B =  (\sum_{j=0}^{n-1} a_{ij}f_j)B = \sum_{k=0}^p (\sum_{j=0}^{n-1} a_{ij}b_{jk})g_k
\displaystyle (e_i)(A \circ B) = \sum_{k=0}^{p-1} c_{ik}g_k

Igualando os coeficientes de cada termo, \displaystyle c_{ik} = \sum_{j=0}^{n-1} a_{ij}b_{jk}, como queríamos. \blacksquare

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Revisiting: injetividade e sobrejetividade

Antes disto, sugiro ver algumas convenções sobre funções.

O que segue são caracterizações diferentes de injetividade e sobrejetividade, que fazem surgir uma inesperada simetria.

Monomorfismos entre conjuntos: suponha X \xrightarrow {\varphi} Y. Afirmo que \varphi é injetiva se e somente se, para todo W, dadas W \xrightarrow {\alpha} X e W \xrightarrow {\beta} X quaisquer,

\alpha \circ \varphi = \beta \circ \varphi \Rightarrow \alpha = \beta (i.e. \varphi é um monomorfismo)

* Se \varphi é injetiva, para qualquer w \in W,

\alpha \circ \varphi = \beta \circ \varphi \Rightarrow ((w) \alpha ) \varphi = ((w) \beta ) \varphi \Rightarrow (w) \alpha = (w) \beta
w é arbitrário \Rightarrow \alpha = \beta.

* Por outro lado, se \varphi não é injetiva, há x, y \in X tais que x \neq y mas (x)\varphi = (y)\varphi. Tome W = \{w\} unitário e defina (w)\alpha = x, (w)\beta = y. A implicação que define monomorfismos é obviamente falsa.

Epimorfismos entre conjuntos: se X \xrightarrow {\varphi} Y, temos \varphi sobrejetiva se e somente se, dadas Y \xrightarrow {\alpha} Z e Y \xrightarrow {\beta} Z quaisquer,

\varphi \circ \alpha = \varphi \circ \beta \Rightarrow \alpha = \beta (i.e. \varphi é um epimorfismo).

* Se \varphi é sobrejetiva, para qualquer y \in Y, há x \in X tal que (x) \varphi = y. Daí

\varphi \circ \alpha = \varphi \circ \beta \Rightarrow ((x) \varphi ) \alpha = ((x) \varphi) \beta \Rightarrow (y) \alpha = (y) \beta

* Reciprocamente, se houver y_0 \in Y não pertencente à imagem de \varphi, tome Z = \{a, b\} de dois elementos, defina (y)\alpha = a para todo y \in Y e (y)\beta = a, exceto se y = y_0; ao invés disso, (y_0)\beta = b. Assim asseguramos que \varphi \circ \alpha e \varphi \circ \beta sejam constantes e iguais a a. No entanto, \alpha \neq \beta.

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Observações Aleatórias

O Tao sugere isolar casos simples de argumentos para entender como eles funcionam. Então ok, aqui tem algo profundamente simples (e de fato idiota), que se usa para ver que toda sequência que converge na norma L^1(\mu) possui uma subsequência que converge \mu-q.t.p.

Para todo ponto de acumulação de um conjunto em um espaço métrico existe uma sequência de Cauchy nesse conjunto que converge para o ponto.

Bom, talvez a idéia seja fazer isso com argumentos que não sejam completamente entendidos…

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Espaços Topológicos

\Omega é fechado para uniões se e somente se para todo I e para toda função A: I \to \Omega, \displaystyle \bigcup_{i \in I} A_i \in \Omega .

X é um espaço topológico se e somente se X é uma função cujo domínio contém \{0, 3\} e \Omega = X_3 \Rightarrow \{ \emptyset, X_0\} \subset \Omega \subset P(X_0) e \Omega é fechado para uniões e \forall P, Q \in \Omega (P \cap Q \in \Omega).

[obs.: as vagas 1 e 2 do domínio são para as estruturas de adição e multiplicação; assim, se \Omega é a topologia usual na reta (ou \Omega = 2^{\mathbb{R}}), (\mathbb{R}, +, \cdot , \Omega) é um espaço topológico]

p é um ponto em X se e somente se p \in X_0.
U é aberto em X se e somente se X é um espaço topológico e U \in X_3.
U e V separam p e q se e somente se p \in U e q \in V e U \cap V = \emptyset.
X é um espaço Hausdorff se e somente se X é um espaço topológico e \forall p, q pontos em X ( p \neq q \Rightarrow \exists U, V abertos em X tais que U e V separam p e q).

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